Тренерская карьера Дмитрия Квартального связана с череповецким клубом «Северсталь» (с июня 2009 по февраль 2012 года). Дважды с ним «Северсталь» занимала пятое место в конференции «Запад» (сезоны 2010-2011 и 2011-2012).

Как рассказали Сибкрай.ruв пресс-службе ХК «Сибирь», будучи игроком Дмитрий Вячеславович выступал за команды: «Химик» (Воскресенск), СКА (Свердловск), СКА МВО (Калинин), клубы АХЛ «Сан-Диего Галлз» (Сан-Диего, США) и «Провиденс Брюинз» (Провиденс, США), клуб НХЛ «Бостон Брюинз» (Бостон, США), «Амбри-Пиотта» (Амбри, Швейцария), «Клагенфурт» (Клагенфурт, Австрия), «Адлер» (Маннгейм, Германия), «Йокерит» (Хельсинки, Финляндия), «Северсталь» (Череповец, Россия), «Ак Барс» (Казань, Россия), «Крылья Советов» (Москва, Россия).

Является бронзовым (1989) и серебряным призёром (1990) Чемпионатов СССР по хоккею. Лучший снайпер Чемпионата СССР 1990 года — 54 очка (25+29) в 46 матчах. Серебряный призёр Чемпионата Германии 1997 года и Чемпионата Финляндии 2000 года, бронзовый призёр Чемпионата Швейцарии 1996 года. В составе «Ак Барса» становился серебряным (сезон 2001-2002 года) и бронзовым (сезон 2003-2004) призером Чемпионата российской Суперлиги.

В составе сборной СССР стал чемпионом мира 1989 года и бронзовым призёром 1991 года, победителем Чемпионата Европы 1989 и 1991 года. Выступал за сборную России на чемпионате мира 1996 года.

Предыдущий главный тренер хоккейной «Сибири» Дмитрий Юшкевич в конце марта заявил, что не будет продолжать работу «по личным причинам».